Sapto Condro loves Science and Technology

Catatan seorang pelajar yang tertidur…

Mengapa Kartini dan bukan yang lainnya? Simple Complexity Analysis

Minggu lalu, dunia online dialiri tulisan tentang mengapa Kartini harus dirayakan setiap 21 April dan mengapa ia menjadi mitos. Ada dua artikel lama yang dikopi-paste ke milis-milis dan juga foto-foto Facebook, serta ditautkan ke Twitter:

Kedua tulisan tersebut merujuk pada artikel Harsja W. Bahtiar “Kartini dan Peranan Wanita dalam Masyarakat Kita”, di buku Satu Abad Kartini (1879-1979), (Jakarta: Pustaka Sinar Harapan, 1990, cetakan ke-4).

Pada ketiga artikel di atas, terdapat kritik terhadap pengkultusan Kartini. Selain itu, ada pertanyaan mengapa Kartini diperingati harinya setiap 21 April. Baik negara maupun masyarakat, merayakan Kartini namun tidak merayakan tokoh wanita lainnya, seperti Dewi Sartika, Rasuna Said, Rohana Kudus, Cut Nyak Dien, Laksamana Kemalahayati, dll. Sebagian tokoh wanita yang disebut T.A. Bachtiar, mengangkat senjata berperang melawan Belanda. Sebagian lain tidak menggunakan kekerasan, namun mendirikan sekolah perempuan, atau minimal lembaga kursus. Kritik berlanjut menjadi, mengapa hanya Kartini dan bukan yang lainnya.

Tulisanku tidak akan membahas mengenai aspek historis mengenai ketokohan Kartini dan perayaannya. Kali ini, aku akan membahas fenomena kompleksitas (wiki: en,de,en). Aku tidak akan memihak Kartini maupun tokoh wanita yang lainnya. Aku akan menggambarkan suatu model matematis yang menjelaskan mengapa Kartini digemari.

***

Pada suatu diskusi di Bremen, kawanku menyodorkan suatu paper tentang kompleksitas. Sayang sekali, paper ini entah kutaruh di mana. Kami mendiskusikan paper tersebut yang berisi suatu model yang menjelaskan mengapa motor bakar (combustion engine) berkembang lebih pesat daripada motor listrik (electric engine). Juga mengapa masyarakat di suatu tempat, memilih cara hidup yang ini, bukan yang lainnya. Mengapa warga suatu daerah memilih beternak bebek daripada kambing walau kedua hewan memiliki kemampuan yang sama untuk hidup dan sintas di tempat itu. Topik doktoral kawan-kawanku adalah tentang fenomena sosio-ekologi yang berhubungan dengan laut, karang, ikan, nelayan, dst. di suatu daerah di Sulawesi. Aku ikut diskusi dalam rangka makan-gak-makan-asal-kumpul, bukan untuk kegiatan akademik.

Modelnya seperti ini. Dimisalkan pada suatu kotak terdapat 1 bola hitam dan 1 bola putih. Satu bola diambil secara acak (random). Jika bola hitam terambil, maka bola hitam harus dikembalikan ke dalam kotak dan ada satu bola hitam yang ditambahkan ke dalam kotak. Jadi kotak menjadi memiliki 2 bola hitam dan 1 bola putih. Begitu juga sebaliknya, jika bola putih yang terambil. Pengambilan yang sederhana ini, jika dilakukan berulang (iterasi), akan menghasilkan fenomena kompleksitas.

Menurut diskusi Bremen, bola mana yang terambil terlebih dahulu akan lebih diuntungkan. Sistem ini sangat tergantung keadaan awal (initial condition). Penjelasan matematisnya terdapat di paper yang hilang jejaknya tersebut. Kini aku akan merekonstruksi modelnya secara lebih sederhana dengan contoh.

***

Keadaan awal: Dalam kotak, 1 bola hitam + 1 bola putih
Kemungkinan bola hitam terambil acak adalah \frac{1}{2} dan putih \frac{1}{2}

Langkah ke-1: bola hitam kebetulan terambil. Maka harus ada bola hitam yang ditambahkan. Jadinya 2 bola hitam dan 1 bola putih.
Kemungkinan bola hitam terambil acak pada langkah ini adalah \frac{2}{3} dan putih \frac{1}{3}
Kemungkinan langkah ini terus menghasilkan bola hitam:
P_{2,1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Langkah ke-2: bola hitam kebetulan terambil lagi. Isi kotak jadi 3 bola hitam dan 1 bola putih.
Kemungkinan bola hitam terambil acak pada langkah ini adalah \frac{3}{4} dan putih \frac{1}{4}
Kemungkinan langkah ini terus menghasilkan bola hitam:
P_{3,1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4} = \frac{1}{4}

Dan seterusnya, hingga langkah ke-k: Isi kotak jadi (k+1) bola hitam dan 1 bola putih
Kemungkinan bola hitam terambil terus:
P_{(k+1),1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{k}{k-1+2}\cdot\frac{k+1}{k+2}= \frac{1}{k+2}
Begitu pula, jika bola putih yang terambil terus: Isi kotak 1 bola hitam + k+1 bola putih
P_{1,(k+1)}= \frac{1}{k+2}

Pertanyaan selanjutnya adalah:

  • Bagaimana kalau pada suatu langkah, bola hitam dan bola putih terambil bergantian, dengan urutan acak?
  • Bagaimana kalau kondisi awalnya tidak seimbang? Bagaimana kalau jumlah bola putih dan bola hitam yang asimetris?

***

Pada contoh lain. Kondisi awal bersifat asimetris. Ini lebih menggambarkan kejadian di dunia nyata yang berisi distribusi yang timpang, contoh kesenjangan sosial, social sentiment, tradisi, dll.

Kondisi awal: 7 bola hitam + 3 bola putih.
Kemungkinan bola hitam terambil acak adalah \frac{7}{10} dan putih \frac{3}{10}

Alternatif I: Bola hitam terambil terus

Langkah ke-1: Isi kotak jadi 8 bola hitam dan 3 bola putih.
Kemungkinan bola hitam terambil acak pada langkah ini adalah \frac{8}{11} dan putih \frac{3}{11}
Kemungkinan langkah ini terus menghasilkan bola hitam:
P_{8,3}=\frac{7}{10}\cdot\frac{8}{11}

Langkah ke-2: Isi kotak jadi 9 bola hitam dan 3 bola putih.
Kemungkinan bola hitam terambil acak pada langkah ini adalah \frac{9}{12} dan putih \frac{3}{12}
Kemungkinan langkah ini terus menghasilkan bola hitam:
P_{9,3}=\frac{7}{10}\cdot\frac{8}{11}\cdot\frac{9}{12}

Dan seterusnya, hingga langkah ke-k: Isi kotak menjadi (k+7) bola hitam dan 3 bola putih
P_{(k+7),3}=\frac{7}{10}\cdot\frac{8}{11}\cdot\frac{9}{12}\frac{10}{13}\cdots\frac{k-1+7}{k-1+10}\cdot\frac{k+7}{k+10}= \frac{7\cdot 8\cdot 9}{(k+10)\cdot(k+9)\cdot(k+8)}
Pada k yang besar:
P_{(k+7),3} \approx\frac{7\cdot 8\cdot 9}{k^{3}}

Alternatif II: Bola putih terambil terus

Langkah ke-1: Isi kotak jadi 7 bola hitam dan 4 bola putih.
Kemungkinan bola hitam terambil acak pada langkah ini adalah \frac{7}{11} dan putih \frac{4}{11}
Kemungkinan langkah ini terus menghasilkan bola putih:
P_{7,4}=\frac{3}{10}\cdot\frac{4}{11}

Langkah ke-2: Isi kotak jadi 7 bola hitam dan 5 bola putih.
Kemungkinan bola hitam terambil acak pada langkah ini adalah \frac{7}{12} dan putih \frac{5}{12}
Kemungkinan langkah ini terus menghasilkan bola putih:
P_{7,5}=\frac{3}{10}\cdot\frac{4}{11}\cdot\frac{5}{12}

Dan seterusnya, hingga langkah ke-k: Isi kotak menjadi 7 bola hitam dan (k+3) putih
P_{7,(k+3)}=\frac{3}{10}\cdot\frac{4}{11}\cdot\frac{5}{12}\frac{6}{13}\cdots\frac{k-1+3}{k-1+10}\cdot\frac{k+3}{k+10}= \frac{3\cdot 4\cdot 5\cdots 9}{(k+10)\cdot(k+9)\cdot(k+8) \cdots (k+4)}
Pada k yang besar:
P_{7,(k+3)} \approx\frac{3\cdot 4\cdot 5\cdots 9}{k^{7}}

Dari kedua alternatif di atas, tampak bahwa pada bola hitam lebih diuntungkan daripada bola putih.
P_{(k+7),3} =\frac{A}{k^{3}} > P_{7,(k+3)} = \frac{B}{k^{7}}
dengan A dan B konstanta, pada langkah ke-k, ketika k besar.

Alternatif III: Bola hitam dan bola putih terambil bergantian dengan urutan acak
Untuk alternatif ini, bisa kembali lagi dianalisis seperti alternatif I atau II. Iterasi ini sebetulnya lebih mudah dilakukan komputer daripada manusia.

***

Dari beberapa contoh di atas, tampak bahwa kondisi saat ini tergantung kondisi sebelumnya. Keadaan awal yang timpang, bisa menghasilkan kesempatan yang asimetris. Ada pihak yang diuntungkan dari kesenjangan ini, dan dirugikan karena kurangnya kesempatan.

Contoh di atas adalah untuk dua pilihan. Untuk multi pilihan bisa juga berlaku pemodelan yang sama. Bisa lihat sebagai berikut.

  • Kartini memiliki 17 bola hijau
  • Dewi Sartika memiliki 9 bola kuning
  • Cut Nyak Dien memiliki 5 bola kelabu
  • Rasuna Said memiliki 3 bola merah muda (pink)
  • Martha Christina Tiahahu memiliki 2 biru

Total bola adalah 36.

Ketika iterasi dilakukan sebanyak k, maka peluang masing-masing akan berbeda, untuk k yang besar.

  • Kartini berpeluang P_{hijau} = \frac{A}{k^(36-17)} = \frac{A}{k^{19}} (peluang terbesar)
  • Dewi Sartika berpeluang P_{kuning} = \frac{B}{k^(36-9)} = \frac{B}{k^{27}}
  • Cut Nyak Dien berpeluang P_{kelabu} = \frac{C}{k^(36-5)} = \frac{C}{k^{29}}
  • Rasuna Said berpeluang P_{pink} = \frac{D}{k^(36-3)} = \frac{D}{k^{33}}
  • Martha Christina Tiahahu berpeluang P_{biru} = \frac{E}{k^(36-2)} = \frac{E}{k^{34}} (peluang terkecil)

Dengan A, B, C, D, dan E adalah konstanta.

Kartini terpilih karena ia lebih dahulu diminati daripada tokoh wanita lainnya.  Seiring berjalannya waktu, ia dirayakan terus-menerus. Ini membentuk tradisi untuk semakin menambah minat akan Kartini. Ini terjadi ketika isi kotak tidak dipengaruhi agen dari luar sistem yang menambah bola, tanpa mengikuti aturan.

Jika ada suatu agen dari luar sistem yang menambah bola, isi kotak bisa berubah keadaan. Keadaan selanjutnya akan tergantung keadaan awal. Jika ada revolusi, yang menghapus Kartini dalam sejarah atau mengganti perayaan Kartini dengan tokoh lain, bisa saja keadaan selanjutnya berubah.

Bremen, 26 April 2013

iscab.saptocondro

Advertisements

April 27, 2013 Posted by | probabiliscab | , , | 1 Comment

Lotto Jerman: Analisis Probabilitas Kemenangan

Di Jerman, ada lotere yang dimiliki negara, namanya Lotto. Setiap hari Rabu dan Sabtu, di televisi nasional milik negara (ARD atau ZDF), ditampilkan pengambilan undian lotere ini. Pada Lotto, setiap orang membeli kupon, baik berupa kertas di kios maupun secara online pada website.

Setiap pemain lotere memiliki kebebasan memilih 6 angka dari 49 angka. Selain itu, pada kupon terdapat nomor kupon. Kemenangan seorang pemain tergantung dari angka yang dipilih bebas dan angka kupon. Setiap membeli undian, ada biaya 0,75 EUR untuk 1 pilihan. Ditambah biaya administrasi, per lembar kupon.

Pada pengundian, terdapat 49 bola yang memiliki nomor 1 hingga 49. Lalu diputar-putarlah bola-bola tersebut. Kemudian diambillah 7 bola secara acak: 6 angka utama dan 1 angka substitusi (Zusatzzahl). Selain itu, ada pengundian Superzahl, yaitu angka terakhir pada nomor kupon. Sepuluh bola, dari angka 0 hingga 9, diundi secara acak untuk diambil 1.

Jadi ada dua pengundian independen yang menyebabkan

  • 49 angka (lotere) = 6 angka benar+ 1 angka pengganti (Zusatzzahl) + 42 angka salah
  • 10 angka (kupon) = 1 angka Superzahl + 9 angka salah

***

 Kemungkinan yang muncul dari pengundian tersebut, sebagai berikut

  • Dari 49 diambil 6: {}_{49}C_{6} =\binom{49}{6}= 13 983 816
  • Dari 10 diambil 1: {}_{10}C_{1} =\binom{10}{1}= 10
  • Perkalian keduanya: {}_{49}C_{6}\times{}_{10}C_{1} =\binom{49}{6}\times\binom{10}{1}= 139 838 160
  • Jadi hampir 140 juta kemungkinan pengundian

Cara menghitungnya menggunakan Kombinasi (wiki: id,en,de):
{}_{n}C_{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}
{}_{n}C_{k} =\binom{n}{k}

***

Pada LOTTO, terdapat beberapa level kemenangan (Gewinnklasse):

  • Klasse I : 6 angka benar + 1 Superzahl
  • Klasse II: 6 angka benar
  • Klasse III: 5 angka benar + 1 Zusatzzahl
  • Klasse IV: 5 angka benar
  • Klasse V:  4 angka benar + 1 Zusatzzahl
  • Klasse VI: 4 angka benar
  • Klasse VII: 3 angka benar + 1 Zusatzzahl
  • Klasse VIII: 3 angka benar

Setengah uang yang dikumpulkan LOTTO diambil bandar, yaitu negara, untuk kegiatan kesenian, olahraga, dll serta tentu saja administrasi dan bagi hasil dengan kios. Jadi bandar dan kios takkan terkena resiko kerugian dari sistem perjudian ini. Setengah lagi, diberikan kepada para pemenang undian. Uang yang diundi dibagi dengan kuota sesuai level/kelas di atas, sebagai berikut.

  • 10% untuk Klasse 1
  • 8% untuk Klasse 2
  • 5% untuk Klasse 3
  • 13% untuk Klasse 4
  • 2% untuk Klasse 5
  • 10% untuk Klasse 6
  • 8% untuk Klasse 7
  • 44% untuk Klasse 8

Jika pada suatu kelas, tidak ada pemenang, maka hadiah akan diakumulasi pada pengundian berikutnya untuk kelas/level yang sama. Hal ini yang disebut Jackpot.

***

Analisis probabilitas untuk  tiap level kemenangan bisa dilihat di bawah ini.

Klasse I: 6 angka benar + 1 Superzahl

  • Dari 6 angka benar diambil 6: {}_{6}C_{6}=\binom{6}{6}=1
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 0: {}_{42}C_{0}=\binom{42}{0}=1
  • Dari 1 angka Superzahl diambil 1: {}_{1}C_{1}=\binom{1}{1}=1
  • Dari 9 angka salah diambil 0: {}_{9}C_{0}=\binom{9}{0}=1
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{6}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{0}\times\binom{1}{1}\times\binom{9}{0}=1
  • Rasio kemenangan: 1 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{1}\times{0,75} = 104878620 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 105 juta EUR untuk Klasse I, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse II: 6 angka benar (+ 0 Superzahl)

  • Dari 6 angka benar diambil 6: {}_{6}C_{6}=\binom{6}{6}=1
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 0: {}_{42}C_{0}=\binom{42}{0}=1
  • Dari 1 angka Superzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 9 angka salah diambil 1: {}_{9}C_{1}=\binom{9}{1}=9
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{6}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{0}\times\binom{1}{0}\times\binom{9}{1}=9
  • Rasio kemenangan: 9 : 139 838 160 = 3 : 46 612 720
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{9}\times{0,75} = 11653180 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 12 juta EUR untuk Klasse II, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse III: 5 angka benar + 1 Zuzatzzahl

  • Dari 6 angka benar diambil 5: {}_{6}C_{5}=\binom{6}{5}=6
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 1: {}_{1}C_{1}=\binom{1}{1}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 0: {}_{42}C_{0}=\binom{42}{0}=1
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{5}\times\binom{1}{1}\times\binom{42}{0}\times\binom{10}{1}=60
  • Rasio kemenangan: 60 : 139 838 160 = 1 : 2 330 636
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{60}\times{0,75} = 1747977 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 1,75  juta EUR untuk Klasse III, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse IV: 5 angka benar (+ 1 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 5: {}_{6}C_{5}=\binom{6}{5}=6
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 1: {}_{42}C_{1}=\binom{42}{1}=42
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{5}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{1}\times\binom{10}{1}=2520
  • Rasio kemenangan: 2520 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{2520}\times{0,75} = 41618,5 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 42 ribu EUR untuk Klasse IV, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse V: 4 angka benar + 1 Zuzatzzahl (+ 1 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 4: {}_{6}C_{4}=\binom{6}{4}=15
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 1: {}_{1}C_{1}=\binom{1}{1}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 1: {}_{42}C_{1}=\binom{42}{1}=42
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{4}\times\binom{1}{1}\times\binom{42}{1}\times\binom{10}{1}=6300
  • Rasio kemenangan: 6300 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{6300}\times{0,75} = 16647,4 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 17 ribu EUR untuk Klasse V, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse VI: 4 angka benar (+ 2 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 4: {}_{6}C_{4}=\binom{6}{4}=15
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 2: {}_{42}C_{2}=\binom{42}{2}=861
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{4}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{2}\times\binom{10}{1}=129150
  • Rasio kemenangan: 129 150 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{129150}\times{0,75} = 812,1 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 813 EUR untuk Klasse VI, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse VII: 3 angka benar + 1 Zuzatzzahl (+ 2 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 3: {}_{6}C_{3}=\binom{6}{3}=20
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 1: {}_{1}C_{1}=\binom{1}{1}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 2: {}_{42}C_{2}=\binom{42}{2}=861
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{3}\times\binom{1}{1}\times\binom{42}{2}\times\binom{10}{1}=172200
  • Rasio kemenangan: 172200 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{172200}\times{0,75} = 609,1 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 610 EUR untuk Klasse VII, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse VIII: 3 angka benar (+ 3 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 3: {}_{6}C_{3}=\binom{6}{3}=20
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 3: {}_{42}C_{3}=\binom{42}{3}=11480
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{3}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{3}\times\binom{10}{1}=2296000
  • Rasio kemenangan: 2 296 000 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{2296000}\times{0,75} = 45,7 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 46 EUR untuk Klasse VIII, sebetulnya Anda membuang uang.

***

Selama ini, hadiah dari LOTTO selalu di bawah angka harapan matematis (Expected value/Erwartungswert). Dari kelas I hingga VIII, hadiahnya tak pernah menguntungkan, secara statistik, seperti perhitungan di atas. Jadi membeli LOTTO adalah cara membuang uang, untuk disumbangkan kepada kegiatan olahraga dan kesenian (kalau berpikir positif). Janganlah berjudi hingga kecanduan, seperti pesan pada kupon LOTTO (dan websitenya).

Bremen, 11 April 2013

iscab.saptocondro

April 11, 2013 Posted by | probabiliscab | , , , | 1 Comment