Sapto Condro loves Science and Technology

Catatan seorang pelajar yang tertidur…

Lotto Jerman: Analisis Probabilitas Kemenangan

Di Jerman, ada lotere yang dimiliki negara, namanya Lotto. Setiap hari Rabu dan Sabtu, di televisi nasional milik negara (ARD atau ZDF), ditampilkan pengambilan undian lotere ini. Pada Lotto, setiap orang membeli kupon, baik berupa kertas di kios maupun secara online pada website.

Setiap pemain lotere memiliki kebebasan memilih 6 angka dari 49 angka. Selain itu, pada kupon terdapat nomor kupon. Kemenangan seorang pemain tergantung dari angka yang dipilih bebas dan angka kupon. Setiap membeli undian, ada biaya 0,75 EUR untuk 1 pilihan. Ditambah biaya administrasi, per lembar kupon.

Pada pengundian, terdapat 49 bola yang memiliki nomor 1 hingga 49. Lalu diputar-putarlah bola-bola tersebut. Kemudian diambillah 7 bola secara acak: 6 angka utama dan 1 angka substitusi (Zusatzzahl). Selain itu, ada pengundian Superzahl, yaitu angka terakhir pada nomor kupon. Sepuluh bola, dari angka 0 hingga 9, diundi secara acak untuk diambil 1.

Jadi ada dua pengundian independen yang menyebabkan

  • 49 angka (lotere) = 6 angka benar+ 1 angka pengganti (Zusatzzahl) + 42 angka salah
  • 10 angka (kupon) = 1 angka Superzahl + 9 angka salah

***

 Kemungkinan yang muncul dari pengundian tersebut, sebagai berikut

  • Dari 49 diambil 6: {}_{49}C_{6} =\binom{49}{6}= 13 983 816
  • Dari 10 diambil 1: {}_{10}C_{1} =\binom{10}{1}= 10
  • Perkalian keduanya: {}_{49}C_{6}\times{}_{10}C_{1} =\binom{49}{6}\times\binom{10}{1}= 139 838 160
  • Jadi hampir 140 juta kemungkinan pengundian

Cara menghitungnya menggunakan Kombinasi (wiki: id,en,de):
{}_{n}C_{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}
{}_{n}C_{k} =\binom{n}{k}

***

Pada LOTTO, terdapat beberapa level kemenangan (Gewinnklasse):

  • Klasse I : 6 angka benar + 1 Superzahl
  • Klasse II: 6 angka benar
  • Klasse III: 5 angka benar + 1 Zusatzzahl
  • Klasse IV: 5 angka benar
  • Klasse V:  4 angka benar + 1 Zusatzzahl
  • Klasse VI: 4 angka benar
  • Klasse VII: 3 angka benar + 1 Zusatzzahl
  • Klasse VIII: 3 angka benar

Setengah uang yang dikumpulkan LOTTO diambil bandar, yaitu negara, untuk kegiatan kesenian, olahraga, dll serta tentu saja administrasi dan bagi hasil dengan kios. Jadi bandar dan kios takkan terkena resiko kerugian dari sistem perjudian ini. Setengah lagi, diberikan kepada para pemenang undian. Uang yang diundi dibagi dengan kuota sesuai level/kelas di atas, sebagai berikut.

  • 10% untuk Klasse 1
  • 8% untuk Klasse 2
  • 5% untuk Klasse 3
  • 13% untuk Klasse 4
  • 2% untuk Klasse 5
  • 10% untuk Klasse 6
  • 8% untuk Klasse 7
  • 44% untuk Klasse 8

Jika pada suatu kelas, tidak ada pemenang, maka hadiah akan diakumulasi pada pengundian berikutnya untuk kelas/level yang sama. Hal ini yang disebut Jackpot.

***

Analisis probabilitas untuk  tiap level kemenangan bisa dilihat di bawah ini.

Klasse I: 6 angka benar + 1 Superzahl

  • Dari 6 angka benar diambil 6: {}_{6}C_{6}=\binom{6}{6}=1
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 0: {}_{42}C_{0}=\binom{42}{0}=1
  • Dari 1 angka Superzahl diambil 1: {}_{1}C_{1}=\binom{1}{1}=1
  • Dari 9 angka salah diambil 0: {}_{9}C_{0}=\binom{9}{0}=1
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{6}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{0}\times\binom{1}{1}\times\binom{9}{0}=1
  • Rasio kemenangan: 1 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{1}\times{0,75} = 104878620 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 105 juta EUR untuk Klasse I, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse II: 6 angka benar (+ 0 Superzahl)

  • Dari 6 angka benar diambil 6: {}_{6}C_{6}=\binom{6}{6}=1
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 0: {}_{42}C_{0}=\binom{42}{0}=1
  • Dari 1 angka Superzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 9 angka salah diambil 1: {}_{9}C_{1}=\binom{9}{1}=9
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{6}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{0}\times\binom{1}{0}\times\binom{9}{1}=9
  • Rasio kemenangan: 9 : 139 838 160 = 3 : 46 612 720
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{9}\times{0,75} = 11653180 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 12 juta EUR untuk Klasse II, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse III: 5 angka benar + 1 Zuzatzzahl

  • Dari 6 angka benar diambil 5: {}_{6}C_{5}=\binom{6}{5}=6
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 1: {}_{1}C_{1}=\binom{1}{1}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 0: {}_{42}C_{0}=\binom{42}{0}=1
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{5}\times\binom{1}{1}\times\binom{42}{0}\times\binom{10}{1}=60
  • Rasio kemenangan: 60 : 139 838 160 = 1 : 2 330 636
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{60}\times{0,75} = 1747977 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 1,75  juta EUR untuk Klasse III, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse IV: 5 angka benar (+ 1 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 5: {}_{6}C_{5}=\binom{6}{5}=6
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 1: {}_{42}C_{1}=\binom{42}{1}=42
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{5}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{1}\times\binom{10}{1}=2520
  • Rasio kemenangan: 2520 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{2520}\times{0,75} = 41618,5 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 42 ribu EUR untuk Klasse IV, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse V: 4 angka benar + 1 Zuzatzzahl (+ 1 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 4: {}_{6}C_{4}=\binom{6}{4}=15
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 1: {}_{1}C_{1}=\binom{1}{1}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 1: {}_{42}C_{1}=\binom{42}{1}=42
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{4}\times\binom{1}{1}\times\binom{42}{1}\times\binom{10}{1}=6300
  • Rasio kemenangan: 6300 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{6300}\times{0,75} = 16647,4 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 17 ribu EUR untuk Klasse V, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse VI: 4 angka benar (+ 2 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 4: {}_{6}C_{4}=\binom{6}{4}=15
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 2: {}_{42}C_{2}=\binom{42}{2}=861
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{4}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{2}\times\binom{10}{1}=129150
  • Rasio kemenangan: 129 150 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{129150}\times{0,75} = 812,1 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 813 EUR untuk Klasse VI, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse VII: 3 angka benar + 1 Zuzatzzahl (+ 2 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 3: {}_{6}C_{3}=\binom{6}{3}=20
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 1: {}_{1}C_{1}=\binom{1}{1}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 2: {}_{42}C_{2}=\binom{42}{2}=861
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{3}\times\binom{1}{1}\times\binom{42}{2}\times\binom{10}{1}=172200
  • Rasio kemenangan: 172200 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{172200}\times{0,75} = 609,1 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 610 EUR untuk Klasse VII, sebetulnya Anda membuang uang.

Klasse VIII: 3 angka benar (+ 3 angka salah)

  • Dari 6 angka benar diambil 3: {}_{6}C_{3}=\binom{6}{3}=20
  • Dari 1 angka Zusatzzahl diambil 0: {}_{1}C_{0}=\binom{1}{0}=1
  • Dari 42 angka salah diambil 3: {}_{42}C_{3}=\binom{42}{3}=11480
  • Dari 10 angka kupon diambil 1: {}_{10}C_{1}=\binom{10}{1}=10
  • Perkalian semuanya: {}\binom{6}{3}\times\binom{1}{0}\times\binom{42}{3}\times\binom{10}{1}=2296000
  • Rasio kemenangan: 2 296 000 : 139 838 160
  • Secara ekonomis, perjudian ini menguntungkan jika hadiahnya \frac{139 838 160}{2296000}\times{0,75} = 45,7 EUR
  • Jadi kalau hadiahnya di bawah 46 EUR untuk Klasse VIII, sebetulnya Anda membuang uang.

***

Selama ini, hadiah dari LOTTO selalu di bawah angka harapan matematis (Expected value/Erwartungswert). Dari kelas I hingga VIII, hadiahnya tak pernah menguntungkan, secara statistik, seperti perhitungan di atas. Jadi membeli LOTTO adalah cara membuang uang, untuk disumbangkan kepada kegiatan olahraga dan kesenian (kalau berpikir positif). Janganlah berjudi hingga kecanduan, seperti pesan pada kupon LOTTO (dan websitenya).

Bremen, 11 April 2013

iscab.saptocondro

Advertisements

April 11, 2013 Posted by | probabiliscab | , , , | 1 Comment